Tu seras topologiste mon fils.

Je n'avais peut-être que 5 ou 6 ans ce jour là, au bord de la mer Méditerranée.
Malgré le temps qui a passé depuis, je me souviens très bien de mes impressions : alors que je regardais l'horizon, je me suis demandé ce qu'il y avait derrière. Une grande chute d'eau ? Le bord du monde ? Et qu'est ce qu'il se passe si on y va ? On tombe dans le vide ?
Des questions angoissantes mais surtout fascinantes pour un enfant.

Sans le savoir, j'avais alors les mêmes interrogations que les hommes de l'antiquité. Eux aussi se sont demandés si le monde sur lequel ils vivaient était fini ou pas et si oui comment étaient ses bords.
Thalès, qui a vécu durant le fameux sixième siècle avant notre ère, pensait que la Terre était un disque flottant sur un océan infini. Autrement dit qu'il se trouvait sur une surface plane, de courbure nulle donc, et infinie.
D'autres pensaient que le monde avait des bords parce qu'ils ne pouvaient concevoir que celui-ci n'eût pas de limites. Comme moi tout jeune, ils confondaient les concepts d'infini et d'illimité.
Aujourd'hui, on sait tous très bien que la Terre n'a évidemment pas de bords : on pourra faire 10000 fois son tour, on ne trouvera jamais de ''bord du monde''. Elle est donc sans limites, sans pourtant être infinie puisqu'elle se replie sur elle-même en quelque sorte : notre monde est posé sur une immense sphère !!
La surface de la Terre est donc illimitée (sans bords), finie, et de courbure positive, nous le savons tous.
Qu'en est-il de l'univers ??

Même les gens qui n'ont pas étudié sérieusement la question répondront qu'il est absurde de penser que l'univers a des bords, des limites : que pourrait-il donc y avoir au delà de ces bords qui ne soit encore de l'espace, objecteront-ils avec un subtil mélange d'ironie et de bon sens.
Mais confondant encore ''infini'' et ''illimité'', ils en déduiront que l'univers est infini puis tenteront même de se moquer du concept d'univers en expansion, prétextant qu'il serait absurde d'imaginer un contenant à quelque chose d'infini.
Mais pourquoi ce qui s'applique aux surfaces à 2 dimensions ne pourrait pas s'appliquer aux espaces à 3 dimensions ?
Des surfaces il y en a de toutes sortes : hyperboloïde, surfaces sphériques, plan, cylindres etc... Certaines sont finies et illimitées, d'autres infinies et limitées, etc... Or les mathématiques nous disent que ce que l'on construit en 2 dimensions peut être généralisé à 3 dimensions.
Cependant, si la classification topologique des surfaces fut achevée à la fin du XIXe siècle, celle des espaces de dimensionnalité supérieure est beaucoup plus compliquée. Il a fallu attendre le XXe siècle pour que les mathématiciens découvrent des formes fascinantes, connues pratiquement d'eux seuls, qui peuvent être utilisées par le physicien pour la description de l'Univers.
Les espaces tridimensionnels à courbure constante - les seuls utiles en cosmologie - peuvent être classés, selon le signe de leur courbure, en familles sphérique, euclidienne et hyperbolique.
Voyons d'abord les espaces plats, c'est à dire euclidiens.
Il existe 18 formes d'espaces euclidiens à 3 dimensions : parmi ces 18 formes, huit sont de volume infini et 10 de volume fini. La plus simple est celle de l'espace usuel, noté E3, infini et illimité, que le quidam lambda pense comme étant la seule possible.
Sur les 10 espaces de volume fini, 6 sont orientables et donc d'un intérêt cosmologique évident. Parmi ces 6 espaces euclidiens finis, 2 me semblent plus intéressants : l'hypertore et l'espace de Hantzsche-Wendt, découvert en 1935.
Il faut savoir que la plupart des espaces tridimensionnels sont représentables sous la forme d'un polyèdre convexe appelé domaine fondamental et dont on a identifié convenablement les faces deux à deux, ainsi que tous les sommets. Pour l'espace de Hantzsche-Wendt, c'est un dodécaèdre rhombique.
Pour l'hypertore, c'est un parallélépipède : de la même façon qu'à deux dimensions nous obtenons le tore plat en collant les côtés opposés d'un rectangle, à trois dimensions nous formons un hypertore en identifiant les faces opposées d'un parallélépipède.

Toutefois, il n'y a aucune raison pour que la courbure de l'espace soit strictement nulle. La surface de la Terre n'est-elle pas courbée positivement ?
La courbure de notre univers peut très bien être également positive. Bonne nouvelle : toutes les topologies sphériques sont de volume fini, c'est une loi mathématique.
Il en existe une infinité, mais ils sont tous dénombrés. Le prototype, et le plus volumineux d'entre eux pour un rayon de courbure donné R, est l'hypersphère : son volume est de 2Π²R³. Il s'agit du fameux espace fermé sans bord découvert par Riemann, utilisé ensuite par Einstein et Friedmann dans leurs modèles cosmologiques datés respectivement de 1917 et 1922.
Un autre espace fascinant est l'espace dodécaèdrique sphérique de Poincaré (déjà évoqué ici) : chaque face du dodécaèdre qui constitue son domaine fondamental est collée à sa face opposée après avoir subie une rotation de 36 degrés. Son volume est 120 fois plus petit que celui de l'hypersphère pour un même rayon de courbure.

Le collage ne peut être réalisé que si l'on utilise un dodécaèdre courbé positivement, avec des angles légèrement gonflés à 120 degrés, au lieu de 117 pour un dodécaèdre euclidien : voilà pourquoi c'est un espace sphérique.

Et si l'univers avait une courbure négative ?
Il pourrait néanmoins être de volume fini. Car les espaces hyperboliques de volume fini existent et sont même très nombreux. Les mathématiciens n'ont toujours pas réussi à tous les répertorier.
L'un des plus intéressants est représentable par l'un des 5 polyèdres réguliers, l'icosaèdre, où l'on identifie d'une certaine façon toutes les face triangulaires 2 à 2 ; l'espace intérieur, fini, de courbure négative, est appelé « espace de Best ».




L'espace de Seifert-Weber, variante multiconnexe de l’hyperboloïde, est quant à lui formé à partir d'un dodécaèdre, comme l'espace dodécaèdrique de Poincaré. Sa différence vient du fait que chaque face est collée à sa face opposée après une rotation de 108 degrés. Le collage ne peut être réalisée que si l'on utilise un dodécaèdre courbé négativement, avec des angles amincis à 72 degrés.
Même s'ils ne connaissent pas tous les espaces hyperboliques fermés (finis), les mathématiciens modernes ont réussi à calculer en 1996 leur plus petit volume théorique : 0,166*R³, R étant toujours la valeur absolue du rayon de courbure.
Aucun espace n'a été construit ayant effectivement ce volume. Jusqu'ici, le plus petit connu a été découvert par Jeffrey Weeks en 1985 : son volume est égal à 0,94272 R³ et il a pour domaine fondamental un polyèdre irrégulier à 26 sommets et 18 faces...
Imaginez le degré d'expertise qu'il faut pour trouver un espace tridimensionnel qui a la tête de l'espace de Weeks !!
Cela doit être éminemment complexe. Complexe, mais passionnant.

Passionnant car ces calculs obscurs et abstraits ont une conséquence directe sur notre connaissance de l'univers. Or ne serait-on pas heureux de savoir que celui-ci est bel et bien fini et qu'il a la forme d'un dodécaèdre de Poincaré par exemple ?
On pourrait en déduire son volume, sa masse, voire peut-être plus tard en faire une carte qui se présenterait sous la forme d'une pièce noire équipée de caméras holographiques dans laquelle on se baladerait virtuellement. Ce serait génial !
C'est d'ailleurs un peu ce que nous propose Jeffrey Weeks sur son site geometrygames.org : les différents cas sont envisagés.
Nous ne savons toujours pas ce qu'il en est vraiment : pour arriver à conclure, il faudrait comparer des prédictions théoriques avec des mesures expérimentales. Ce qui est très difficile.

Le 21 mars 2013, les résultats de la campagne de mesure du satellite Planck, lancé en 2009, ont été révélés. Ils ont permis de faire une carte très précise du fond diffus cosmologique, c'est à dire de la densité d'énergie de l'univers alors qu'il n'avait que 380 000 ans.
Malheureusement, comme l'explique Jean-Pierre Luminet dans cet article, cette carte ne pourrait vraiment servir, par la recherche de cercles corrélés, que seulement si le domaine fondamental de notre cher cosmos est suffisamment petit. Ce qui ne semble pas être le cas.
Or un modèle dont la taille serait supérieure à celle de l'horizon cosmologique. et/ou dont la courbure serait proche de celui d'un espace euclidien n'est pas détectable.
Du coup, on ne peut pas encore conclure, pour l'instant en tout cas : d'autres calculs vont être faits. Certes, grâce à Planck, nous savons que l'univers a 13,82 milliards d'années - nouveau résultat ! - et nous avons une meilleure idée de la valeur de la constante cosmologique, de la constante de Hubble et du pourcentage de matière noire.
Je rappelle que la constante cosmologique, initialement introduite par erreur par Einstein (ce type arrivait à être génial même en faisant des bêtises), correspond à à la densité moyenne d'énergie noire, cette étrange substance qui serait partout et qui a été introduite artificiellement dans les modèles pour expliquer l'accélération de l'expansion de celui-ci.
Le modèle cosmologique actuellement en vigueur, nommé modèle standard de la cosmologie, est de type Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker : il est de courbure nulle - si vous avez bien suivi, vous savez que cette conjecture n'est pas encore vérifiée expérimentalement - , et comprend donc une densité faible mais uniformément répartie d'énergie sombre.
Les modèles de type Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker sont un ensemble de modèles découverts principalement par les célèbres Friedmann et Lemaître (dont j'ai déjà parlé ici) qui décrivent des univers homogènes subissant une phase d'expansion. Ils impliquent l'existence d'un Big Bang, gigantesque explosion à l'origine de notre cosmos et désormais universellement célèbre.
Il faut savoir également que le modèle standard de la cosmologie, qui constitue une des solutions des équations de Friedmann* elles-mêmes dérivées de la relativité générale, ne dit rien sur ce qui s'est produit pendant la première seconde du Big Bang : d'autres théories sont nécessaires pour ce moment de l'histoire de notre univers. La plus populaire et la plus fascinante est celle de l'inflation cosmique, pour laquelle l'univers aurait connu une phase d'expansion considérable au tout début de sa ''vie''.
En quelques millièmes de seconde, celui-ci aurait grossi d'un facteur d'au moins 10²⁶ voire 10^1000000 selon certains calculs !!
Je me demande vraiment d'où pourrait venir cette inflation cosmique. Ce qui est sûr, c'est qu'elle est très pratique pour expliquer ce que les astronomes constatent : des régions qui n'ont jamais pu communiquer d'information se ressemblent tellement qu'elles ne peuvent qu'avoir la même origine.
''Et la lumière ?'' serez vous tenté de dire... Vous pensez sûrement que comme rien ne va plus vite que la lumière, laquelle transporte de l'information, n'importe quelle partie de l'espace peut communiquer avec n'importe quelle autre partie de l'espace.
Vous oubliez que la relativité restreinte qui énonce cette loi est... restreinte justement : elle n'est vraie que pour un espace restreint. Or d'après la relativité générale, des régions du cosmos très éloignées l'une de l'autre peuvent se fuir plus vite que la vitesse de la lumière. Et c'est le cas dans notre univers en expansion. Du coup, on comprend l'intérêt de l'inflation cosmique : expliquer la mise en relation des régions qui ne le seront plus jamais après la première seconde du Big Bang.
Le problème est que les physiciens actuels ne savent d'où peut bien venir cette inflation si pratique : ils en ont même inventé une nouvelle particule... L'inflaton !! C'est peut-être Dieu qui a tout bonnement décidé cette méga-expansion ultra-rapide pour obtenir un univers à sa convenance...
En tout cas, ne comptez pas sur moi pour aller plus loin dans les explications : je suis loin de tout comprendre. J'ai déjà essayé de manipuler les équations de Friedmann avec les paramètres du modèle standard de la cosmologie pour tenter de comprendre ce qu'il adviendrait d'un voyageur qui aurait décidé de partir très longtemps à une vitesse très proche de la vitesse de la lumière… Je me suis plutôt planté.

De toute façon,ce calcul était d'un intérêt limité : le plus important reste de comprendre quelle pourrait être la topologie de l'univers et enfin d'avoir la preuve qu'il est bien de dimension finie.
Un univers infini est sans doute mathématiquement possible, certes, mais philosophiquement, et même probablement physiquement, inconcevable. L'existence d'un univers infini impliquerait l'existence d'une infinité de planètes jumelles de la Terre et donc d'une infinité de sosies pour chacun d'entre eux et donc d'une infinité de sosies ayant la même vie que nous en même temps que nous pour chacun d'entre nous... Totalement délirant.
Le bon sens, la cohérence et sûrement la science physique plaident très largement en faveur d'un univers fini contenant un nombre déterminé de galaxies. Un nombre énorme, de plusieurs milliers de milliards, mais pas infini.
Alors quand aurons nous la preuve de cette finitude ? Quand connaîtrons nous la forme de notre cosmos ? Pourra-t-on trouver les réponses dans cette fameuse carte du fond diffus cosmologique que nous a livré le satellite Planck le 21 mars 2013 ?

Je ne sais pas, mais ces questions passionnantes et fabuleusement romantiques donnent furieusement envie d'être spécialiste en topologie.

Cosmologiquement vôtre.

* Les équations de Friedmann relient le taux d'expansion H, la courbure spatiale K et le facteur d'échelle a à la densité d'énergie ρ.

Une petite vidéo sympa pour illustrer le tout :