Un peu de maths.

Publié le par Miteny

Quel est le nombre qui, quand on le divise par 2 donne comme reste 1, quand on le divise par 3 donne comme reste 2, quand on le divise par 4 donne comme reste 3, quand on le divise par 5 donne comme reste 4, quand on le divise par 6 donne comme reste 5, quand on le divise par 7 donne comme reste 6, quand on le divise par 8 donne comme reste 7, quand on le divise par 9 donne comme reste 8 ?

Pas le droit d'utiliser de tableur ni de calculette. 

Il y a une petite astuce que je n’ai même pas trouvée… Comme quoi, ça promet pour l’énigme principale de ce site…

Publié dans Archives 2006-2009

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mamachienne 28/03/2008 18:48

11 chiens à une tâche ça marche, man!!

Miteny 28/03/2008 18:54


ah oui, désolé. Je n'avais pas compris l'énigme en fait. Encore le péché d'orgueil !


oy 28/03/2008 15:29

C'est possible, mais on ne sait pas combien ils en ont. Justement c'est là le problème. Il faut montrer que DANS TOUS LES CAS, on peut en trouver 11 dont la somme des tâches est un multiple de 11.

Miteny 28/03/2008 17:42


1 n'est pas un multiple de 11. Comme ils peuvent avoir tous 1 seule tache, ta conclusion est fausse.


oy 26/03/2008 21:42

Ah non non. Justement on ne sait pas combien ils ont de tâches. Il peut y avoir 5 chiens qui ont chacun 245948 tâches, 9 qui ont 2 tâches, etc...

Miteny 27/03/2008 10:31


DOnc les 101 peuvent avoir tous 1 seul tache?


oy 25/03/2008 22:57

j'en profite pour vous donner une autre énigme, mais bien plus difficile celle-là :

Considérons les 101 dalmatiens.
On suppose qu'on ne sait pas combien ils ont de tâches chacun.

Montrez qu'on peut toujours trouver 11 des 101 dalmatiens dont la somme des tâches qu'ils ont donne un multiple de 11.

ATTENTION : étonnamment, le fait qu'ils soient 101 est très important

Miteny 26/03/2008 13:40


Il manque une information (rien qu'une petite) sur le nombre de taches par chien.


oy 25/03/2008 22:53

correction : il y a un endroit où j'ai marqué PGCD(2,3,4,5,6,7,8,9) au lieu de PPCM(2,3,4,5,6,7,8,9)

oy 25/03/2008 22:51

Bonjour

Et oui il y une astuce géniale qui résous très vite le problème :

Soit x le nombre cherché.
Plutôt que de prendre des restes positifs, on peut les prendre négatifs (tant qu'ils restent inférieurs au diviseur en valeur absolue).

Et là on constate que le reste de x divisé par 2 est -1, que celui de x divisé par 3 est -1, etc... Tous les restes de x divisé par 2,3,4,5,...,9 sont -1.

Maintenant on utilise un théorème très puissant, le théorème des restes chinois (voir Wikipédia), qui dit que si on trouve une solution, alors on trouve toutes les solutions modulo PGCD(2,3,4,5,6,7,8,9).
Or il est facile de voir que PPCM(2,3,4,5,6,7,8,9)=PPCM(5,7,8,9).
Et 5,7,8,9 sont premiers entre eux, donc leur PPCM est leur produit, c'est à dire 2520.

Comme -1 est une solution (qui ne nous intéresse pas vraiment), et que les solutions sont données modulo 2520, on en déduit que 2520-1, c'est à dire 2519 est une solution.

Voilà, toutes les solutions sont les entiers de la forme -1+2520k, avec k un entier.

Miteny 26/06/2006 16:46

2519 c'est bon (c'est un des nombres qui marche). Mais c'est mieux de trouver l'astuce qui est simple en fait. Pas besoin de tableur alors.
Ou alors de trouver TOUS les nombres qui marchent.

sancho 26/06/2006 13:02

Bonjour, je réponds plutôt à l'énigme POURQUOI MOI? En fait, je voulais surtout te féliciter d'avoir eu l'idée d'y voir une énigme. Et voilà, j'ai répondu à ta question. Mais si ce n'est pas assez clair, je développe un peu. Pourquoi TOI? Pour qu'il y ait quelqu'un pour sentir l'immensité de cette énigme. C'est qu'il se trouve que toi seul pouvait.

Le Sorcier 24/06/2006 15:30

je propose 2519.
trouvé un peu par tatonnements je l'avoue.
Mais je suppose, de manière trés intuitive, qu'il existe d'autres nombres ayant ce genre de particularité.
Je vais essayer de trouver l'astuce...